Как найти угол в прямоугольном треугольнике?

от

Тригонометрия — важный раздел математики, который имеет дело с соотношением между длинами сторон и углами прямоугольного треугольника. Слово тригонометрия происходит от греческих слов, где «tri» означает «три», «gon» означает «стороны», а ‘metron’ означает ‘мера’. Гиппарх известен как “отец тригонометрии”. Тригонометрия используется в различных приложениях в нашей повседневной жизни.

Прямоугольный треугольник

Тригонометрические соотношения

Используя тригонометрические соотношения, мы можем найти недостающие углы или стороны прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс, косекант, секущая и котангенс — это шесть тригонометрических соотношений или функций. Где тригонометрическое отношение изображается как отношение между сторонами прямоугольного треугольника. Кстати, найдите величину угла acb на страницах специализированного сайта.

Сторона, противоположная прямому углу, или самая длинная сторона, называется гипотенузой. Сторона, противоположная заданному углу, называется противоположной стороной, а сторона, следующая за заданным углом, называется смежной стороной. Функция синуса определяется как отношение противоположной стороны к гипотенузе. Функция косинуса определяется как отношение соседней стороны к гипотенузе. Функция касательной определяется как отношение противоположной стороны к смежной стороне. Функция косеканса является обратной функции синуса. Функция секущей обратной функции косинуса, а функция кокасательной обратной функции тангенса. Следовательно, функции синуса, косинуса и тангенса являются тремя основными тригонометрическими функциями.

  • sin θ = Противоположная сторона / гипотенуза
  • cos θ = Смежная сторона / гипотенуза
  • угол наклона θ = sin θ /cos θ = Противоположная сторона / смежная сторона
  • косек θ = 1 / sin θ = Гипотенуза / противоположная сторона
  • сек θ = 1 /cos θ = Гипотенуза / смежная сторона
  • cot θ = 1 / tan θ = Смежная сторона / противоположная сторона = cos θ / sin θ

Как найти угол в прямоугольном треугольнике?

Для нахождения неизвестного угла данного треугольника нам нужно использовать обратные тригонометрические соотношения. Где обратные тригонометрические функции являются обратными функциями тригонометрических функций. Мы знаем, что sin θ = противоположная сторона / гипотенуза.

Теперь θ = sin-1 (противоположная сторона / гипотенуза)

Аналогично,

  • θ = cos-1 (смежная сторона / гипотенуза)
  • θ = tan-1 (противоположная сторона / смежная сторона)
  • θ = косек -1 (гипотенуза / противоположная сторона)
  • θ = сек -1 (гипотенуза / смежная сторона)
  • θ = cot -1 (смежная сторона / противоположная сторона)

Мы знаем, что, используя шесть тригонометрических соотношений, мы можем найти недостающие или неизвестные углы и стороны прямоугольного треугольника. Но, используя формулу правила синуса и формулу правила косинуса, мы можем найти стороны и углы любого данного треугольника.

Правило синуса или закон синусов

Правило синуса или Закон синусов — это тригонометрический закон, который задает соотношение между сторонами и углами треугольника (непрямоугольного треугольника). Пусть a, b и c — длины трех сторон треугольника ABC и A, B и C по их соответствующим противоположным углам. Теперь выражение для правила синуса задается как,

Треугольник ABC

sin A / a = sin B / b = sin C / c (или) a /sin A = b / sin B = c / sin C

Правило косинуса или закон косинусов

Правило косинуса или закон косинусов используется для нахождения неизвестной стороны или угла треугольника. Пусть a, b и c — стороны, а A, B и C — углы треугольника ABC. Теперь выражения для правила косинуса приведены в виде,

a2 = b2 + c2 – 2ab cos A (или) cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc

b2 = a2 + c 2 – 2ac cos B (или) cos B = (a2 + c2 – b2) /2ac

c2 = a2 + b 2 – 2ab cos C (или) cos C = (a2 + b2 – c2) /2ab

Примеры задач

Задача 1. Найдите угол ∠ACB (в градусах) прямоугольного треугольника ABC, когда AB = 5 см и AC = 13 см.

Решение:

Треугольник ABC

Учитывая, AB = 5 см и AC = 13 см.

Итак, мы знаем длину стороны, противоположной ∠ACB, и длину гипотенузы. Следовательно, мы можем использовать тригонометрическую функцию sine для нахождения ∠ACB.

sin C = противоположная сторона / гипотенуза

⇒ sin C = AB / AC

⇒ sin C = 5/13

⇒ ∠C = sin-1 (5/13) ⇒ ∠C = 22,61 °

Следовательно, ∠ACB = 22,61 °

Задача 2. Найдите ∠Z (в градусах) прямоугольного треугольника XYZ, когда XY = 6 см и YZ = 8 см.

Решение:

Треугольник XYZ

Учитывая, XY = 6 см и YZ = 8 см.

Итак, мы знаем длины противоположных и смежных сторон ∠Z. Следовательно, мы можем использовать функцию касательной для нахождения ∠Z

У нас есть, tan Z = противоположная сторона / смежная сторона

⇒ tan Z = XY /YZ

⇒ tan Z = 6/8 = 3/4

⇒ ∠Z = tan-1 (3/4) ⇒ ∠Z = 36.87°

Следовательно, ∠Z = 36,87°